需要关于射影几何代数的理论基础。

1. 1-1 对应的定义

第 1 章 1-1 对应

【定义】任意给定两个集合，如果在它们之间能够建立一种对应，使 得任意一个集合中的每一个元素，都对应到另一集合中的一个且仅一个元 素，那么，这两个集合就称为能够建立 1-1 对应的集合，简称两个集合为

1-1 对应（One-to-One Correspondence）。 

这里，1-1 对应是定义两个集合之间的一种关系 ，而不是它们元素之 间的关系，但要确定两个集合是否有这种关系，需要考察它们的元素之间 是否能够建立一个具体的 1-1 对应。 

【例】试问由三个数字组成的集合{1,2,3},和由三个字母组成的集合

{A,B,C}之间是否 1-1 对应？ 

【答】我们在这两个集合的元素之间建立下面这样的对应： 1 <-> A ， 2 <-> B ， 3 <-> C 

这里符号<->表示其左右两边元素为对应。这样，两个集合中的每一个

元素，都对应到了另一集合中的一个且仅一个元素。所以集合{1,2,3}与集 合{A,B,C}为 1-1 对应。 显然，包含两个数字的集合{1,2}或包含四个数 字的集合{1,2,3,4}就不能与包含三个字母的集合{A,B,C}建立 1-1 对应。 集合 1-1 对应的概念非常简单，但也非常重要，它在科研、生产或在日常

生活中都频繁使用。例如，我们通常进行的计数过程就是将被计数对象与 数字'1'、'2'、'3' 之间在心中建立 1-1 对应；在人类尚未进入文明时 代、尚未发明数字之前，也已利用他们的手指与被计数对象（如每天的掠 物）建立 1-1 对应。科学家们的神圣工作是对自然界各种事物进行命名与 分类，本质上就是将这些事物及其属性与适当的 word（单字）建立 1-1 对 应。这种过程虽然不像计数那样简单，需要反复，需要修正和深化，不可 能一次完成，但在本质上，每一步无非就是对事物及其属性进行记录，并 用一些 word 与它们建立 1-1 对应。这些 word 开始只是少数人的专用语言， 随着科学不断普及，这些专业术语也就逐步演变成人们的日常用语。如果 你仔细分析语言的各种成分，你将发现，人类语言的全部概念实际都是利 用 1-1 对应这种简单想法(idea)生成的。 

2. 1-1 对应的进一步的意义和性质  

   集合的 1-1 对应是定义在两个集合上的两个互逆的 1-1 变换所联合组 合。如集合｛1,2,3｝与集合｛A,B,C｝的 1-1 对应 

1 <-> A ， 2 <-> B ， 3 <-> C 就是下列两个 1-1 变换的组合： 

                                                                             ｆ：（ 1 -> A ， 2 -> B ， 3 -> C ）  ｇ：（ 1 <- A ， 2 <- B ， 3 <- C ） 

其中 f 是｛1,2,3｝到｛A,B,C｝的变换，g 是｛A,B,C｝到｛1,2,3｝的变换， 且ｇ与ｆ互逆。如果将二个变换改为 

                                                                            ｆ：（ 1 -> A ， 2 -> B ， 3 -> C ）  ｇ：（ 2 <- A ， 1 <- B ， 3 <- C ） 

则尽管ｆ和ｇ都是 1-1 变换，使一个元素变到一个元素，但ｇ与ｆ不是互 逆的两个变换，它们合在一起就不构成（同）一个 1-1 对应。 

      1-1 对应关系具有对称性和传递性。即：如果集合 A 与 B 为 1-1 对应，

则 B 与 A 也 1-1 对应；如果集合 A 与 B 为 1-1 对应，且集合 B 与集合 C 也 1-1 对应，则集合 A 与 C 也 1-1 对应 。 

     1-1 对应规定的仅仅是元素的对应方式，不允许１个元素对应到多个

元素，也不允许某个元素不与另一集合中的任何元素对应。但除此以外不 再附加任何条件。 

     我们不要求一个集合中的某个元素必须与另一集合中某个固定元素 进行对应。只要满足 1-1 关系，无论什么元素都可以与它对应。如前节例 子中的数字集｛1,2,3｝与字母集｛A,B,C｝之间，下列６种对应方式都是 合格的 1-1 对应： 

（1） 1 <-> A ， 2 <-> B ， 3 <-> C 

（2） 1 <-> A ， 2 <-> C ， 3 <-> B 

（3） 1 <-> B ， 2 <-> A ， 3 <-> C 

（4） 1 <-> B ， 2 <-> C ， 3 <-> A 

（5） 1 <-> C ， 2 <-> A ， 3 <-> B 

（6） 1 <-> C ， 2 <-> B ， 3 <-> A 

    可以看出， A,B,C 三元素的任何一种排列，都可与 1,2,3 对应。这 6 种不同的 1-1 对应可用以下 6 张关系表来表示： 

    每个表的左边列出了集合{1,2,3}的元素，上边列出集合{A,B,C}的元 素，中间的每个格子代表对应行和列的元素是否有对应关系，T 代表有对应 关系，否则代表没有对应关系。可以看出，每一行每一列都只有一个格子 为 T，这表示两个集合元素之间的对应为 1-1 的。六个表代表六种不同的

1-1 对应方式。如果两个集合都有 n 个元素，就有 n！种不同的 1-1 对应方

式。 

    其次，建立对应的两个集合完全任意。它们可以有相同类型元素，如

{1,2,3}与{4,5,6}对应；或完全相同的元素，如{1,2,3}与{1,2,3}本身对 应（这样的 2 个集合间仍有 6 种可行的对应方式）；或不同类型的元素，

如前所述的{1,2,3}与{A,B,C}之间的对应。如果一个牧童用绳子把５头羊 分别牵在５棵树上，就是让{羊}和{树}建立 1-1 对应；学生上课时，50 名学生走进一间有 50 个座位的教室，找到空位就坐下，就是在{班级学生} 和{教室座位}2 个集合之间自动建立一个 1-1 对应；物理学家经常把各种客 观事物的变化规律与他们主观想象出来的公式混为一谈，就是在{客观规律} 和{错误公式}两个集合之间建立 1-1 对应。 

    本书考察的对应主要是点、线、面等几何元素组成的集合之间的对应， 有时也考察其他对应，包括几何元素与数的对应、几何元素与字母的对应， 等。 

3. 1-1 对应在数学中的应用  

    在数学中，人们努力从事的工作，常常就是在简单概念和复杂概念之 间建立 1-1 对应，或者是在已探索过的领域和正在探索中的未知领域寻找

1-1 对应。例如， 利用平面几何中点和直线的性质或关系，到空间几何中

去寻找点、线、面对应的性质和关系；利用中心、焦点、切线、渐近线等 点和直线的性质来研究二阶曲线的性 质。解析几何是利用简单的代数方法 来研究几何，而进入大学的高等代数中又反过来利用低维的几何直观来研 究任意维的线性空间。在我们学习射影几何时，也要利 用我们已学过的各

门数学知识，其中最重要的是平面几何的知识。 

4. 无穷集之间的 1-1 对应  

    两个集合，如果它们相互 1-1 对应，我们通常就称这两个集合包含了

相同数目的元素；如果一个集合的一部分与另一个集合 1-1 对应，那么前 一集合的元素数目比后一集合的元素数目为大。但这些结论仅适用于有限 集，如果为无穷集，结论就常常不是这样了。下面我们来看几个例子。 

   ［例 1］2,4,6,8,10,．．．等偶数仅仅是自然数的一半，但偶数集

｛2,4,6,8,10,．．．｝与自然数集｛1,2,3,4,5, ．．．｝是相互之间能 够建立 1-1 对应的两个集合。 

您好，答案如下